Відповіді на вправи підручника: 365

365. Дано три точки А, В і С такі, що $\overline{АС}$ = k • $\overline{СВ}$. Доведіть, що для будь–якої точки О справджується рівність:

Дано: точки А, В, С такі, що $\overline{АС}$ = k • $\overline{\mathrm{CB}}$;

точка О.

Довести: $\overline{ОС}$ = $\frac{\overline{\mathrm{ОА}}+k•\overline{\mathrm{OB}}}{1+k}$.

Доведення

$\overline{ОС}$– $\overline{\mathrm{OA}}$= $\overline{\mathrm{AC}}$; $\overline{AC}$ = $\frac{k}{1+k}\overline{AB}$;

Запишемо: $\overline{ОС}$– $\overline{\mathrm{ОА}}$= $\frac{k}{1+k}\overline{\mathrm{AB}}$;

$\overline{ОС}$= $\overline{\mathrm{ОА}}$ + $\frac{k}{1+k}$ $\overline{\mathrm{AB}}$.

Оскільки $\overline{\mathrm{АВ}}$ = $\overline{\mathrm{ОВ}}$ – $\overline{\mathrm{ОА}}$, то маємо: $\overline{ОС}$ = $\overline{\mathrm{ОА}}$ + $\frac{k}{1+k}$ ($\overline{\mathrm{OB}}$ – $\overline{OA}$);

$\overline{\mathrm{OC}}$ = $\overline{\mathrm{OA}}$ – $\frac{k}{1+k}$ • $\overline{OA}$ + $\frac{k}{1+k}$ $\overline{\mathrm{OB}}$; $\overline{\mathrm{OC}}$= $\frac{1}{1+k}$ • $\overline{\mathrm{OA}}$+ $\frac{k}{1+k}$ • $\overline{\mathrm{OB}}$;

$\overline{\mathrm{OC}}$ = $\frac{\overline{\mathrm{OA}}+k•\overline{\mathrm{OB}}}{1+k}$. Доведено.