Відповіді на вправи підручника: 342

342. Чотирикутник ABCD — ромб із гострим кутом A. Порівняйте суми модулів векторів:

1) |$\overline{\mathrm{AB}}$| + |$\overline{\mathrm{BC}}$| = 2|$\overline{\mathrm{AB}}$|; |$\overline{\mathrm{DC}}$| + |$\overline{\mathrm{AD}}$| = 2|$\overline{AD}$| = 2|$\overline{AB}$|.

Отже, |$\overline{\mathrm{AB}}$| + |$\overline{\mathrm{BC}}$| = |$\overline{\mathrm{DC}}$| + |$\overline{AD}$|.

2) Із ∆АВО (О – точка перетину діагоналей, BD ⊥ AC, BO = OD, AO = OC, ∠BAO = $\frac{1}{2}$∠A. BO = AB sin $\frac{A}{2}$. |$\overline{\mathrm{BD}}$| = 2|$\overline{AB}$|sin $\frac{A}{2}$.

AO = AB • cos $\frac{A}{2}$ • |$\overline{AC}$| = 2|$\overline{AB}$| cos $\frac{A}{2}$.

|$\overline{AB}$| + |$\overline{\mathrm{BD}}$| = |$\overline{AB}$| + 2|$\overline{AB}$| sin $\frac{A}{2}$ = |$\overline{AB}$| (1 + 2sin $\frac{A}{2}$).

|$\overline{AC}$| + |$\overline{\mathrm{CD}}$| = |$\overline{\mathrm{CD}}$| + 2|$\overline{AB}$| cos $\frac{A}{2}$ = |$\overline{AB}$| + 2|$\overline{AB}$| cos $\frac{A}{2}$(1 + 2cos$\frac{A}{2}$).

|$\overline{AB}$|(1 + 2 sin $\frac{A}{2}$) ≠ |$\overline{AB}$|(1 + 2 cos $\frac{A}{2}$),

тобто |$\overline{AB}$| + |$\overline{\mathrm{BD}}$| ≠ |$\overline{AC}$| + |$\overline{\mathrm{CD}}$|.