Відповіді на вправи підручника

Відповіді на вправи підручника: 262 (1)

Готова відповідь до завдання 262 (1) з ГДЗ Геометрія 9 клас Бурда 2026.

Геометрія, 9 клас · Відповіді на вправи підручника

Текстова відповідь

262. Складіть рівняння геометричного місця точок, рівновіддалених від двох даних точок.

1) Складіть рівняння ГМТ, рівновіддалених від точок (0; 0), (a₁; a₂).

Розв'язання

ГМТ, рівновіддалених від двох точок є серединний перпендикуляр.

Нехай пряма а – серединний перпендикуляр до відрізка AB.

Знайдемо рівняння прямої AB. Рівняння прямої через 2 точки:

$\frac{x - x_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ = $\frac{y - y_{1}}{y_{2} - y_{1}}$ ; $\frac{x - 0}{a_{1} - 0}$ = $\frac{y - 0}{a_{2} - 0}$ ; $\frac{x}{a_{1}}$ = $\frac{y}{a_{2}}$ ;

y = $\frac{a_{2}}{a_{1}}$ x $\Rightarrow$ k₁ = $\frac{a_{2}}{a_{1}}$ . Отже, кутовий коефіцієнт прямої а:

k₂ = – $\frac{a_{1}}{a_{2}}$ ; y = – $\frac{a_{1}}{a_{2}}$ x + b – пряма а.

С – середина AB: x_c = $\frac{{0 + a}_{1}}{2}$ = $\frac{a_{1}}{2}$ ; y_c = $\frac{{0 + a}_{2}}{2}$ = $\frac{a_{2}}{2}$ .

C( $\frac{a_{1}}{2}$ ; $\frac{a_{2}}{2}$ ) $\in$ прямій а: $\frac{a_{2}}{2}$ = – $\frac{a_{1}}{a_{2}}$ • $\frac{a_{1}}{2}$ + b; – $\frac{a_{1}^{2}}{{2 a}_{2}}$ + b = $\frac{a_{2}}{2}$ ;

b = $\frac{a_{2}}{2}$ + $\frac{a_{1}^{2}}{{2 a}_{2}}$ = $\frac{a_{2}^{2} + a_{1}^{2}}{{2 a}_{2}}$ . y = – $\frac{a_{1}}{a_{2}}$ x + $\frac{a_{1}^{2} + a_{2}^{2}}{{2 a}_{2}}$ | • 2a₂;

2a₁x + 2a₂y – ( $a_{1}^{2}$ + $a_{2}^{2}$ ) = 0 – пряма а.

Відповідь: 2a₁x + 2a₂y – ( $a_{1}^{2}$ + а₂)².

Складіть рівняння ГМТ, рівновіддалених від точок (a₁; a₂), (b₁; b₂).

Розв'язання

ГМТ, рівновіддалених від двох точок є серединний перпендикуляр.

Нехай пряма а – серединний перпендикуляр до відрізка AB.

Знайдемо рівняння прямої AB. Рівняння прямої через 2 точки:

$\frac{x - x_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ = $\frac{y - y_{1}}{y_{2} - y_{1}}$ ; $\frac{x - a_{1}}{b_{1} - a_{1}}$ = $\frac{y - a_{2}}{b_{2} - a_{2}}$ ;

y – a₂ = $\frac{{b_{2} - a}_{2}}{b_{1} - a_{1}}$ (x – a₁) $\Rightarrow$ k₁ = $\frac{{b_{2} - a}_{2}}{b_{1 -} a_{1}}$ .

Отже, кутовий коефіцієнт прямої а:

k₂ = – $\frac{{b_{1} - a}_{1}}{b_{2} - a_{2}}$ = $\frac{{a_{1} - b}_{1}}{b_{2} - a_{2}}$ ; y = $\frac{{a_{1} - b}_{1}}{{b_{2} - a}_{2}}$ + b – рівняння прямої а.

С – середина AB: x_c = $\frac{{a_{1} + b}_{1}}{2}$ ; y_c = $\frac{{a_{2} + b}_{2}}{2}$ .

C( $\frac{{a_{1} + b}_{1}}{2}$ ; $\frac{{a_{2} + b}_{2}}{2}$ ) $\in$ прямій а: $\frac{a_{2} + b_{2}}{2}$ = $\frac{a_{1} - b_{1}}{{b_{2} - a}_{2}}$ • $\frac{a_{1} + b_{1}}{2}$ + b;

$\frac{a_{2} + b_{2}}{2}$ = $\frac{a_{1}^{2} - b_{1}^{2}}{{2 (b_{2} - a}_{2})}$ + b; b = $\frac{a_{2} + b_{2}}{2}$ – $\frac{a_{1}^{2} - b_{1}^{2}}{{2 (b_{2} - a}_{2})}$ ;

y = $\frac{{a_{1} - b}_{1}}{b_{2} - a_{2}}$ x + $\frac{a_{2} + b_{2}}{2}$ – $\frac{a_{1}^{2} - b_{1}^{2}}{{2 (b_{2} - a}_{2})}$ | • 2(b₂ – a₁);

2(b₂ – a₂)y = 2(a₁ – b₁)x + (a₂ + b₂)(b₂ – a₂) – $a_{1}^{2}$ + $b_{1}^{2}$ ;

2(b₂ – a₂)y = 2(a₁ – b₁)x + $b_{2}^{2}$ – $a_{2}^{2}$ – $a_{1}^{2}$ + $b_{1}^{2}$ .

2(b₁ – 2a₁)x + (2b₂ – 2a₂)y + ( $a_{1}^{2}$ + $a_{2}^{2}$ – $b_{1}^{2}$ – $b_{2}^{2}$ ) = 0 – рівняння прямої а.

Відповідь: (2b₁ – 2a₁)x + (2b₂ – 2a₂)y + ( $a_{1}^{2}$ + $a_{2}^{2}$ – $b_{1}^{2}$ – $b_{2}^{2}$ ) = 0.