Відповіді на вправи підручника: 264

264. Складіть рівняння дотичної до кола х² + y² = R² в точці

М (х₀; у₀).

Складіть рівняння дотичної до кола

х² + y² = R² в точці М (х₀; у₀).

Розв'язання

Нехай пряма а – дотична до кола, М(х₀; у₀) – точка дотику. За властивістю дотичної a $\perp$ OM.

Знайдемо рівняння ОМ.

Рівняння прямої через 2 точки.

$\frac{x-x_1}{x_2-x_1}$ = $\frac{y-y_1}{y_2-y_1}$; $\frac{x-0}{x_0-0}$ = $\frac{y-0}{y_0-0}$;

$\frac{x}{x_0}$ = $\frac{y}{y_0}$; y = $\frac{y_0}{x_0}$x $\Rightarrow$ k₁ = $\frac{y_0}{x_0}$.

Отже, кутовий коефіцієнт прямої а:

k₂ = –$\frac{1}{k_1}$ = –$\frac{x_0}{y_0}$; y = –$\frac{x_0}{y_0}$x + b – рівняння прямої а.

М (х₀; у₀) $\in$ прямій а: y₀ = –$\frac{x_0}{y_0}$x₀ + b; b = y₀ + $\frac{x_0^2}{y_0}$.

y = –$\frac{x_0}{y_0}$x + y₀ + $\frac{x_0^2}{y_0}$ | • y₀;

y • y₀ = –x • x₀ + $y_0^2$ + $x_0^2$, $y_0^2$ + $x_0^2$ = R²;

Рівняння дотичної: yy₀ + xx₀ – R² = 0.

Відповідь: yy₀ + xx₀ – R² = 0.