Відповіді на вправи підручника: 260

260. Вершини трикутника мають координати А (0; 13), В (2; –1) і

С (10; 3). Доведіть, що його медіани, проведені з вершин В і С, взаємно перпендикулярні.

Дано: ∆АВС; A(0; 13), B(2; –1), C(10; 3),

BM, CK – медіани.

Довести: BM $\perp$ CK.

Доведення

За властивістю кутового коефіцієнта BM $\perp$ CK, якщо k₁ • k₂ = –1.

Знайдемо рівняння прямої BM.

За умовою, М – середина AC:

x_M = $\frac{0+10}{2}$ = 5; y_М = $\frac{13+3}{2}$ = 8.

Отже, М(5; 8).

Рівняння прямої через дві точки:

$\frac{{x-x}_1}{x_2-x_1}$ = $\frac{{y-y}_1}{y_2-y_1}$; $\frac{x-2}{5-2}$ = $\frac{y+1}{8+1}$;

$\frac{x-2}{3}$ = $\frac{y+1}{9}$; 3y + 3 = 9x – 18; 3y = 9x – 21|: 3; y = 3х – 7.

Отже, y = 3х – 7 – рівняння прямої BM.

Знайдемо рівняння прямої CK. За умовою, K – середина AB:

x_K = $\frac{0+2}{2}$ = 1, y_K = $\frac{13-1}{2}$ = 6.

Отже, К(1; 6).

Рівняння прямої через 2 точки: $\frac{{x-x}_1}{x_2-x_1}$ = $\frac{{y-y}_1}{y_2-y_1}$; $\frac{x-10}{1-10}$ = $\frac{y-3}{6-3}$;

$\frac{x-10}{-9}$ = $\frac{y-3}{3}$; –9y + 27 = 3x – 30; –9y = 3x – 57|: (–9);

y = –$\frac{1}{3}$x + $\frac{57}{9}$. Отже, y = –$\frac{1}{3}$x + $\frac{57}{9}$ – рівняння прямої CK.

Одержали k₁ • k₂ = 3 • (–$\frac{1}{3}$) = –1. Отже, BM $\perp$ CK.

Доведено.