Вправи: 485 (1)

485. У рівнобедреному трикутнику ABC (AB = BC) через середину висоти BH проведено пряму, яка перетинає сторони AB і BC у точках M і N відповідно. Знайдіть BH, якщо MN = m, ∠ABC = α, ∠BMN = β.

Дано: ∆АВС; АВ = ВС;

ВН - висота; ВК = КН.

MN = m; ∠ABC = α; ∠BMN = β.

Знайти: ВН.

Розв’язання

За теоремою синусів з ∆MBN:

MNsin B = BNsin M;

BN = MN • sin Msin B = m sin βsin α.

B ∆MBK: ∠BKM = 180° - (β + α2)

Отже, ∠BKN = 180° - ∠BKM = 180° - (180° - (β + α2) = 180° - 180° +

+ β + α2 = α2 + β.

B ∆BKN:

∠BNK = 180° - (∠K + ∠B) = 180° - (β + α2 + α2) = 180° - (α + β).

sin K = sin(α + β).

За теоремою синуса з ∆BKN:

BKsin N = BNsin K;

BK = BN • sin Nsin K = m sin β • sin(α + β)sin α • sin(α2 + β);

BH = 2BK = 2m sin β sin(α + β)sin α •sin(α2 + β).

Відповідь: 2m sin β sin(α + β)sin α •sin(α2 + β).