Вправи: 451

451. Доведіть, що в паралелограмі проти більшого кута лежить більша діагональ. Чи правильне обернене твердження?

Дано: ABCD - паралелограм.

Довести: проти більшого кута

лежить більша діагональ.

Доведення

Нехай ∠А = α, тому ∠В = 180° - α, α - гострий.

cos(180° - α) = -cosα; cos B = -cos α

За теоремою косинусів для ∆АВС:

AC² = AB² + BC² - 2AB • BC • (-cos α) = AB² + BC² + 2AB • BC • cos α.

За теоремою косинусів для ∆ABD:

BD² = AB² + AD² - 2 • AB • AD • cos A = AB² + AD² - 2 • AB • AD •

• cos α

AC > BD.

Тому проти більшого кута лежить більша діагональ.