Вправи: 450

450. У прямокутному паралелепіпеді ABCDA₁B₁C₁D₁ AB = 12, BC = 18, BB₁ = 6. Знайдіть косинус найбільшого кута трикутника A₁BC₁ (мал. 136).

Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁ -

паралелепіпед;

АВ = 12, ВС = 18, ВВ₁ = 6.

Знайти: косинус найбільшого

кута ∆А₁ВС₁.

Розв’язання

∆A₁AB (∠A = 90°):

A₁B = AA12 + AB2 = 62 + 122 = 36 + 144 = 180 = 65.

∆BCC₁ (∠C = 90°):

BC₁ = BC2 + CC12 = 182 + 62 = 324 + 36 = 360 = 610.

∆A₁B₁C₁ (∠B₁ = 90°):

A₁C₁ = A1B12+B1C12 = 122 + 182 = 144 + 324 = 468 = 613.

A₁C₁ - найбільша сторона ∆А₁ВС₁, тому ∠В - найбільший.

За теоремою косинусів для ∆А₁ВС₁:

cos B = A1B2 + BC12 - A1C122A1B •BC1 = 180 + 360 - 4682•65 • 610 = 727250 = 150 = 17 ≈

≈ 0,14

Відповідь: 0,14.