Вправи: 406

406. Знайдіть найбільше значення виразу 3x + 41- x2 і вкажіть x, при якому це значення досягається.

Розв’язання

D(y): 1 - x² ≥ 0

-x² ≥ -1

x² ≤ 1

D(y) = [-1; 1]

Введемо вектори a = (1; 1) і b = (3x; 41 - x2.

Знайдемо скалярний добуток a • b.

|a| = 1 + 1 = 2;

|b| = 9x2 + (41 - x22 = 9x2 + 16(1 - x2) =

= 9x2 + 16 - 16x2 = 16 - 7x2

a • b = |a| • |b| • cos γ = 2 • 16 - 7x2 • cos γ = 32 - 14x2 •

• cos γ.

Найбільше значення cos γ дорівнює 1.

Найбільше значення виразу 32 - 14x2 досягається при х = 0.

Відповідь: 0.