Вправи: 402

402. Дано прямокутник ABCD. Доведіть, що для будь-якої точки M виконується рівність: AM² + CM² = BM² + DM².

Дано: ABCD - прямокутник;

М - довільна точка

Довести: AM² + CM² = BM² + DM².

Доведення

AM + MD = AD

BM + MC = BC

AD = BC, тоді

AM + MD = BM + MC

AM + CM = BM + DM

(AM + CM)² = (BM + DM)²

AM² + 2AM • CM + CM² = BM² + 2BM • DM + DM²

Оскільки 2AM • CM = 2BM • DM, то AM² + CM² = BM² + DM².