Вправи: 401

401. Знайдіть координати одиничного вектора, колінеарного з бісектрисою кута B трикутника ABC, якщо A(2; 7), B(4; 3), C(8; 1).

Дано: ∆ABC; BN - бісектриса;

A(2; 7), B(4; 3), C(8; 1),

|a| = 1, a i BN - колінеарні.

Знайти: координати a.

Розв’язання

AB = (4 - 2; 3 - 7) = (2; -4);

BC = (8 - 4; 1 - 3) = (4; -2).

|AB| = 22+ (-4)2 = 4 + 16 = 20;

|BC| = 42+ (-2)2 = 16 + 4 = 20.

|AB| = |BC|, тому ∆АВС - рівнобедрений і бісектриса BN є медіаною.

N - середина AC: N(2 + 82; 7 + 12) = N(5; 4).

BN = (5 - 4; 4 - 3) = (1; 1).

a = kBN = k(1; 1) = (k; k).

|a| = k2+k2; k2+k2 = 1

2k² = 1

k² = 12

k = ± 12

k = ± 22

Отже, a(-22; -22) або a(22; 22).

Відповідь: (-22; -22), (22; 22).