Вправи: 400 (1)

400. Напишіть рівняння дотичних, проведених з точки A(1; 1) до кола (x – 4)² + (y – 2)² = 5.

Дано: коло (х - 4)² + (у - 2)² = 5

т. А(1; 1) ∉ колу.

Знайти: рівняння дотичних.

Розв’язання

О(4; 2) - центр кола; С(х; у) - точка дотику.

CO = (4 - x; 2 - y), CA = (1 - x; 1 - y).

Тоді CO • CA = 0; CO • CA = (4 - x)(1 - x) + (2 - y)(1 - y)

(4 - x)(1 - x) + (2 - y)(1 - y) = 0

Складаємо систему рівнянь

(x - 4)² + (y - 2)² = 5

(4 - x)(1 - x) + (2 - y)(1 - y) = 0

x² - 8x + 16 + y² - 4y + 4 - 5 = 0

4 - 4x - x + x² + 2 - 2y - y + y² = 0

_ x² + y² - 8x - 4y + 15 = 0

x² + y² - 5x - 5y + 6 = 0

3x - y + 9 = 0

y = -3x + 9

x² + (-3x + 9)² - 8x - 4(-3x + 9) + 15 = 0

x² + 9x² - 54x + 81 - 8x + 12x - 36 + 15 = 0

10x² - 50x + 60 = 0|: 2

x² - 5x + 6 = 0

x₁ = 2

x₂ = 3

x = 2 x = 3

y = 3 y = 0 Отже, С(2; 3), С₁(3; 0)

Рівняння прямої АС:

x - x1x2 - x1 = y - y1y2 - y1; x - 12 - 1 = y - 13 - 1

x - 11 = y - 12

y - 1 = 2x - 2

y = 2x - 1

Рівняння прямої АС₁:

x - x1x2 - x1 = y - y1y2 - y13 = y - 10 - 1

x - 12 = y - 1-1

2y - 2 = -x + 1

2y = -x + 3|: 2

y = -12x + 32

Відповідь: y = 2x - 1; y = -12x + 32.