Вправи: 994

994. Якщо діагоналі трапеції рівні, то трапеція — рівнобічна. Доведіть.

Дано: ABCD – трапеція, АС = BD.

Довести: АВ = CD.

Доведення: Здійснимо паралельне перенесення діагоналі BD так, що

B → C, D → D’. При цьому CD’ ∥ BD, DD’ = BC. Оскільки AC = BD, AC = CD’ i ∆ACD’ – рівнобедрений, ∠CAD’ = ∠CD’A. ∠BCA = ∠CAD (як внутрішні різносторонні при ВС ∥ AD і січній АС). Розглянемо ∆АВС і ∆CDD’: BC = DD’, AC = CD’, ∠BCA = ∠CD’D, тоді ∆АВС = ∆CDD’ за двома сторонами і кутом між ними. Звідки: АВ = СВб тобто трапеція є рівнобічною. Що й треба було довести.