Вправи: 762

762. У правильному 12–кутнику зі стороною а сполучено середини шести сторін, узятих через одну, так, що утворився правильний шестикутник. Знайдіть його сторону.

Дано: правильний 12–кутник;

a₁₂ = a; A, B, C, D, E, F – середини сторін 12–кутника.

Знайти: а₆.

Розв'язання

ОА – радіус вписаного кола в правильний 12–кутник

r = an2tg180°n = a122tg180°12 = a2tg15°.

ОА – радіус описаного кола навколо правильного 6–кутника.

R = an2sin180°n = a62sin180°6 = a62sin30°;

Отже, r₁₂ = R₆.

a2tg15° = a62sin30°;

а₆ = a•2sin30°2tg15° = a•2sin15°•cos215°sin15° = 2a • cos²15° = 2a1+ cos30°2 =

= a(1 + 32) = a2 (1 + 3).

Відповідь: a2 (1 + 3).