Вправи: 760

760. Три рівні кола, що попарно дотикаються одне до одного, зовні дотикаються до кола радіуса R. Знайдіть радіуси цих кіл, якщо.

Нехай у коло з центром О і радіусом R вписано три кола з центрами O₁, O₂, O₃, які дотикаються між собою. Позначимо їх радіус за r. Тоді

ОО₂ = R – r, OO₃ = R – r, O₂O₃ = 2r. ∠O₂OO₃ =

= 360°3 = 120°.

Тоді у ∆ОО₂О₃ О₂О32 = ОО22 + ОО32 – 2ОО₂ • ОО₃ • cos∠O₂OO₃.

4r₂ = (R – r)² + (R – r)² – 2(R – r)(R – r)cos 120°;

4r² = 2(R – r)² – 2(R – r)² • (–12), 4r² = 3(R – r)²;

4r² = 3(R² – 2Rr + r²), 4r² = 3R² – 6Rr + 3r²; r² + 6Rr – 3R² = 0.

Розв'яжемо рівняння відносно r:

D = 36R² + 4 • 3R² = 48R².

r = -6R ±48R22; r = -6R± 4R32; r = -6R-4R32 < 0, тому

r = -6R+4R32 = 2R3 + 3R = R(23 + 3).

Відповідь: R(23 + 3).