Вправи: 761

761. У правильному восьмикутнику зі стороною а сполучено середини чотирьох сторін, узятих через одну, так, що утворився квадрат. Знайдіть сторону цього квадрата.

Дано: восьмикутник;

а₈ = a; A, B, C, D – середини сторін.

Знайти: а₄.

Розв'язання

ОА – радіус вписаного кола в правильний восьмикутник

r = an2tg180°n = a82tg180°8 = a2tg22,5°.

ОА – радіус описаного кола навколо правильного чотирикутника ABCD.

R = an2sin180°n = a42sin180°4 = a42sin45°;

Отже, r₈ = R₄.

a2tg22,5° = a42sin45°;

a₄ = a•2sin45°2tg22,5° = a•2sin22,5°•cos222,5°sin22,5 = 2a • cos²22,5° =

= 2a1+ cos45°2 = a(1 + 22) = a2 (2 + 2).

Відповідь: a2 (2 + 2).