Вправи: 758

758. У коло радіуса R вписано правильний n–кутник і середини його

сторін послідовно сполучено. Знайдіть сторону утвореного много–

кутника, якщо:

У коло з центром О і радіусом R вписано правильний n–кутник, три з вершин якого, взяті послідовно, є точки А, В і С. М – середина АВ, N – середина ВС, MN – шукана сторона утвореного за умовою задачі многокутника, OB = R.

ON – висота, медіана і бісектриса рівнобедреного ∆ВОС і ON = r – радіус кола, вписаного в заданий n–кутник. Тоді

R = BCsin180°n, r = BC2tg180°n, BC = 2Rsin180°n i r = 2Rsin180°n2tg180°n = Rcos180°n.

∆AOB = ∆COB, тоді OM = ON = r, a ∆MON – рівнобедрений.

∠АОВ = ∠ВОС (як центральні кути заданого правильного n–кутника.

OM i ON – їх бісектриси, тоді ∠MON = ∠AOB = ∠BOC = 360°n.

Із ∆MON MN² = OM² + ON² – 2OM • ON cos∠MON. Тоді MN² = 2r² – 2r² cos 360°n = 2R²(1 – cos360°n) = 2r² cos²180°n(1 – cos360°n);

Mn = Rcos180°n 2(1-cos360°n).

1) якщо n = 6, то MN = R cos 180°6 2(1-cos360°6) =

= R cos 30° 2(1-cos60°) = R • 32 2(1- 12) = R32 • 2 • 12 =

= R32;

2) якщо n = 8, то

MN = R cos 180°8 2(1-cos360°8) = R cos 22°30’ 2(1-cos45°) =

= R cos 22°30’ • 2(1- 12) = R cos 22°30’ 2-2 ≈ R • 0,9293 •

• 0,7654 ≈ 0,71R.

Відповідь: 1) R32; 2) 0,71R.