Вправи: 627

627. Трапилося так, що місцевість між дорогами заболочена й виміряти відстань АВ, як у задачі 626, не можна (мал. 172). Але пункт А видно з двох місць В і В₁ на дорозі PN, а також можна підійти до пункту А. Тоді виміряли ВВ₁, ∠ВАМ, ∠АВN і ∠АВ₁N. Поясніть, як знайти відстань АС. Знайдіть цю відстань, якщо: ВВ₁ = а, ∠ВАМ = α, ∠АВN = β, ∠АВ₁N = β₁.

За даними малюнка знайти АС.

Розв'язання

З ∆ACB: ∠C = 180° – (α + β).

∠ABB₁ = 180° – β – як суміжний з ∠АВС.

∠ВАВ₁ = 180° – (β₁ + 180° – β) = β – β₁.

За теоремою синусів з ∆АВВ₁:

ABsin∠AB1B = BB1sin∠BAB1; ABsinβ1 = BB1sin(β-β1).

АВ = BB1• sinβ1sin(β-β1) = a• sinβ1sin(β- β1).

За теоремою синусів з ∆АСВ:

ACsin∠ABC = ABsinC; ACsinβ = ABsin(180°-α+ β).

АС = AB• sinβsin(α+ β) = a sinβ1• sinβsinβ-β1• sin(α+ β).

Відповідь: a sinβ1• sinβsinβ-β1• sin(α+ β).