Вправи: 628

628. Потрібно обчислити відстань між недоступними пунктами С і D

(мал. 173). Для цього на місцевості вибрали точки А і В так, щоб

можна було виміряти відстань АВ і щоб із цих точок було видно точ–

ки С і D. Потім виміряли АВ = а, ∠САD = α₁, ∠ВАD = α₂, ∠АВС = β₂, ∠СВD = β₁. Поясніть, як знайти відстань СD. Обчисліть СD,

якщо а = 100 м, α₁ = 30°, α₂ = 70°, β₁ = 54°, β₂ = 28°.

Зайти CD, якщо a = 100 м, α₁ = 30°, α₂ = 70°, β₁ = 54°, β₂ = 28°.

Розв'язання

∠ADB = 180° – (β₁ + α₂ + β₂)

За теоремою синусів з ∆ADB:

DBsinα2 = AВsin∠ADB;

sin∠ADB = sin 180° – (β₁ + α₂ + β₂) = sin (β₁ + α₂ + β₂).

DB = a sinα2sin(β1+α2+β2) = 100• sin70°sin(54°+70°+28°) = 100•0,93970,4695 ≈ 200 (м)

∠ACB = 180° – (β₂ + α₁ + α₂)

За теоремою синусів з ∆ABC:

CBsin(α1+α2) = AВsin∠ACB;

sin∠ACB = sin 180° – (β₂ + α₁ + α₂) = sin (β₂ + α₁ + α₂).

CB = a•sin(α1-α2)sin(β2+α1+α2) = 100• sin(30°+70°)sin(28°+30°+70°) = 100•0,98480,788 ≈ 125 (м)

За теоремою косинусів з ∆CBD:

CD² = CB² + DB² – 2 • CB • DB • cos β₁ = 125² + 200² – 2 • 125 •

• 200 • cos54° = 15625 + 40000 – 50000 • 0,5878 = 55625 – 29390 =

= 26235

CD = 26235 ≈ 162 (м).

Відповідь: 162 м.