Вправи: 478

478. Доведіть, що чотирикутник ABCD — квадрат, якщо.

Діагоналі чотирикутника ABCD AC і BD. Якщо діагоналі AC і BD рівні і перпендикулярні, то ABCD – квадрат.

1) A(1; 2), B(4; 5), C(7; 2), D(4; –1), тоді AC (7 – 1; 2 – 2),

AC (6; 0); BD (4 – 4; –1 – 5), BD (0; –6). |AC| = 62+02 = 6;

|BD| = 02+(-6)2 = 6;

AC • BD = 6 • 0 + 0 • (–6) = 0, отже, |AC| = |BD| і AC ⊥ BD, тоді ABCD – квадрат. Що й треба було довести.

2) A(3; –2), B(1; 1), C(4; 3), D(6; 0), тоді AC (4 – 3; 3 + 2),

AC (1; 5); BD (6 – 1; 0 – 1), BD (5; –1). |AC| = 12+52 =

= 1+25 = 26;

|BD| = 52+(-1)2 = 26;

AC • BD = 1 • 5 + 5 • (–1) = 0, отже, AC ⊥ BD і |AC| = |BD|. Тоді ABCD – квадрат. Що й треба було довести.