Вправи: 268 (1)

268. Складіть рівняння геометричного місця точок, рівновіддалених від двох даних точок.

1)

Складіть рівняння ГМТ, рівновіддалених від точок (0; 0), (a₁; a₂).

Розв'язання

ГМТ, рівновіддалених від двох точок є серединний перпендикуляр.

Нехай пряма а – серединний перпендикуляр до відрізка AB.

Знайдемо рівняння прямої AB.

Рівняння прямої через 2 точки:

x-x1x2-x1 = y-y1y2-y1; x-0a1-0 = y-0a2-0;

xa1 = ya2; y = a2a1x ⇒ k₁ = a2a1.

Отже, кутовий коефіцієнт прямої а:

k₂ = –a1a2; y = –a1a2 x + b – пряма а.

С – середина AB:

x_c = 0+a12 = a12; y_c = 0+a22 = a22.

C(a12; a22) ∈ прямій а:

a22 = –a1a2 • a12 + b

–a12 2a2 + b = a22; b = a22 + a12 2a2 = a22+a12 2a2.

y = –a1a2x + a12+a22 2a2 | • 2a₂

2a₁x + 2a₂y – (a12 + a22) = 0 – пряма а.

Відповідь: 2a₁x + 2a₂y – (a12 + а₂)².

2)

Складіть рівняння ГМТ, рівновіддалених від точок (a₁; a₂), (b₁; b₂).

Розв'язання

ГМТ, рівновіддалених від двох точок є серединний перпендикуляр.

Нехай пряма а – серединний перпендикуляр до відрізка AB.

Знайдемо рівняння прямої AB.

Рівняння прямої через 2 точки:

x-x1x2-x1 = y-y1y2-y1; x-a1b1-a1 = y-a2b2-a2;

y – a₂ = b2-a2b1-a1 (x – a₁) ⇒ k₁ = b2-a2b1-a1.

Отже, кутовий коефіцієнт прямої а:

k₂ = –b1-a1b2-a2 = a1-b1b2-a2; y = a1-b1b2-a2 + b – рівняння прямої а.

С – середина AB:

x_c = a1+b12; y_c = a2+b22.

C(a1+b12; a2+b22) ∈ прямій а:

a2+b22 = a1-b1b2- a2 • a1+b12 + b

a2+b22 = a12-b12 2(b2-a2) + b

b = a2+b22 – a12-b12 2(b2-a2)

y = a1-b1b2-a2x + a2+b22 – a12-b12 2(b2-a2) | • 2(b₂ – a₁)

2(b₂ – a₂)y = 2(a₁ – b₁)x + (a₂ + b₂)(b₂ – a₂) – a12 + b12

2(b₂ – a₂)y = 2(a₁ – b₁)x + b22 – a22 – a12 + b12.

2(b₁ – 2a₁)x + (2b₂ – 2a₂)y + (a12 + a22 – b12 – b22) = 0 – рівняння прямої а.

Відповідь: (2b₁ – 2a₁)x + (2b₂ – 2a₂)y + (a12 + a22 – b12 – b22) = 0.