Вправи: 266

266. Вершини трикутника мають координати А (0; 13), В (2; –1) і

С (10; 3). Доведіть, що його медіани, проведені з вершин В і С, взаємно перпендикулярні.

Дано: ∆АВС; A(0; 13)

B(2; –1), C(10; 3),

BM, CK – медіани.

Довести: BM ⊥ CK

Доведення

За властивістю кутового коефіцієнта BM ⊥ CK, якщо k₁ • k₂ = –1.

Знайдемо рівняння прямої BM.

За умовою, М – середина AC:

x_M = 0+102 = 5; y_М = 13+32 = 8

Отже, М(5; 8)

Рівняння прямої через дві точки:

x- x1x2-x1 = y- y1y2-y1; x-25-2 = y+18+1;

x-23 = y+19; 3y + 3 = 9x – 18

3y = 9x – 21|: 3

y = 3х – 7

Отже, y = 3х – 7 – рівняння прямої BM

Знайдемо рівняння прямої CK.

За умовою, K – середина AB:

x_K = 0+22 = 1, y_K = 13-12 = 6

Отже, К(1; 6)

Рівняння прямої через 2 точки;

x- x1x2-x1 = y- y1y2-y1; x-101-10 = y-36-3;

x-10-9 = y-33; –9y + 27 = 3x – 30

–9y = 3x – 57|: (–9)

y = –13x + 579

Отже, y = –13x + 579 – рівняння прямої CK.

Одержали k₁ • k₂ = 3 • (–13) = –1.

Отже, BM ⊥ CK.

Доведено.