Вправи: 267

267. Яка умова перпендикулярності відрізків АВ і СD, якщо відомі

координати їхніх кінців: А (а₁; а₂), В (b₁; b₂), С (c₁; c₂), D (d₁; d₂)?

Дано: AB ⊥ CD, A(a₁; a₂),

B(b₁; b₂), C(c₁; c₂), D(d₁; d₂).

Яка умова ⊥–сті?

Розв'язання

Знайдемо рівняння прямої AB.

Рівняння прямої через дві точки:

x- x1x2-x1 = y- y1y2-y1; x- a1b1-a1 = y- a2b2-a2;

(b₁ – a₁)(y – a₂) = (b₂ – a₂)(x – a₁)|: (b₁ – a₁)

y – a₂ = (b2-a2)(x-a1)b1-a1

y – a₂ = b2-a2b1-a1 (x – a₁); k₁ = b2-a2b1-a1

Знайдемо рівняння прямої CD.

Рівняння прямої через дві точки:

x- x1x2-x1 = y- y1y2-y1; x- с1d1-c1 = y- c2d2-c2;

(d₁ – c₁)(y – c₂) = (d₂ – c₂)(x – c₁)|: (d₁ – c₁)

y – c₂ = (d2-c2)(x-c1)d1-c1

y – c₂ = d2-c2d1-c1 (x – c₁); k₂ = d2-c2d1-c1

За властивістю кутового коефіцієнта прямої: AB ⊥ CD, якщо

k₁ • k₂ = –1

k₁ = –1k2.

b2-a2b1-a1 = –d1-c1d2-c2; b2-a2b1-a1 = c1-d1d2-c2.

Відповідь: b2-a2b1-a1 = c1-d1d2-c2.