Вправи: 1042 (1)

1042. У прямокутному трикутнику АВС з катетами АВ і ВС знайдіть довжини медіан, якщо:

1) АВ = 3, ВС = 4; 2) АВ = 5, ВС = 12.

Розв'язання

1) АВ = 3, ВС = 4.

Проведемо медіани АК, BM, CD.

Уведемо систему координат так, щоб її початок містився в вершині B, а його катети лежали на осях.

Вершини трикутника матимуть координати:

A(3; 0), B(0; 0), C(0; 4).

М – середина АС, тому М(1,5; 2).

D – середина AB, тому D(1,5; 0).

K – середина BC, тому K(0; 2).

Знайдемо довжини відрізків АК, ВМ, CD.

CD = (1,5-0)2+(0-4)2 = 2,25+16 = 18,25 = 734 = 732;

BM = (1,5-0)2+(2-0)2 = 2,25+4 = 6,25 = 2,5;

AK = (0-3)2+(2-0)2 = 9+4 = 13.

Відповідь: 13; 2,5; 732.

2) АВ = 5; ВС = 12.

Проведемо медіани АК, BM, CD.

Уведемо систему координат так, щоб її початок містився в вершині B, а його катети лежали на осях.

Вершини трикутника матимуть координати:

A(5; 0), B(0; 0), C(0; 12).

М – середина АС, тому М(2,5; 6).

D – середина AB, тому D(2,5; 0).

K – середина BC, тому K(0; 6).

Знайдемо довжини відрізків АК, ВМ, CD.

AK = (0-5)2+(6-0)2 = 25+36 = 61.

BM = (2,5-0)2+(6-0)2 = 6,25+36 = 42,25 = 6,5

CD = (2,5-0)2+(0-12)2 = 6,25+144 = 150,25 = 6014 =

= 6012.

Відповідь: 61; 6,5; 6012.