Відповіді на вправи: 643 (1-2)

643. Розв’яжіть рівняння.

1) 2 + 6 + 10 +…+ x = 288.

a₁ = 2; d = 6 – 2 = 4.

a_n = a₁ + (n – 1)d = 2 + (n – 1) • 4 = 2 + 4n – 4 = 4n – 2;

x = 4n – 2;

S_n = $\frac{a_1+a_n}{2}$ • n = $\frac{2+4n-2}{2}$ • n = 2n • n = 2n²;

2n² = 288;

n² = 144;

n = 12;

n = –12 – не задовольняє умову.

x = 4 • 12 – 2 = 46.

Відповідь: 46.

2) 5 + 12 + 19 + y = 2225;

a₁ = 5; d = 12 – 5 = 7;

a_n = a₁ + (n – 1)d = 5 + (n – 1) • 7 = 5 + 7n – 7 = 7n – 2;

y = 7n – 2.

S_n = $\frac{a_1+a_n}{2}$ • n = $\frac{5+7n-2}{2}$ • n = $\frac{7n+3}{2}$ • n;

$\frac{(7n+3)n}{2}$ = 2225 |• 2;

7n² + 3n – 4450 = 0;

D = 3² – 4 • 7 • (–4450) = 9 + 124 600 = 124 609 = 353²;

n₁ = $\frac{-3-353}{14}$ = $\frac{-356}{14}$ < 0 – не задовольняє умову;

n₂ = $\frac{-3+353}{14}$ = $\frac{350}{14}$ = 25;

y = 7 • 25 – 2 = 173.

Відповідь: 173.

3) (x + 1) + (x + 4) + (x + 7) + …+ (x + 28) = 155;

a₁ = x + 1; d = x + 4 – x – 1 = 3; a_n = x + 28;

a_n = a₁ + (n – 1)d;

x + 1 + (n – 1) • 3 = x + 28;

1 + 3n – 3 = 28;

3n = 30;

n = 10.

S₁₀ = $\frac{a_1+a_n}{2}$ • 10 = $\frac{x+1+x+28}{2}$ • 10 = (2x + 29) • 5;

(2x + 29) • 5 = 155;

2x + 29 = 31;

2x = 2;

x = 1.

Відповідь: 1.

4) (y + 248) + (y + 243) + (y + 238) +…+ (y + 3) = 6225;

a₁ = y + 248; d = y + 243 – y – 248 = –5; a_n = y + 3;

a_n = a1 + (n – 1) • (–5) = y + 3;

248 – 5n + 5 = 3;

–5n = 3 – 253;

–5n = –250;

n = 50.

S₅₀ = $\frac{a_1+a_n}{2}$ • 50 = $\frac{y+248+y+3}{2}$ • 50 = (2y + 251) • 25;

(2y + 251) • 25 = 6225;

2y + 251 = 249;

2y = –2;

y = –1.

Відповідь: –1.