Відповіді на вправи: 625

625. Знайдіть перший член а₁ і різницю d арифметичної прогресії (а_n), якщо:

1) а₁ + а₇ = 42; а₁ + а₁ + 6d = 42;

а₁₀ – а₃ = 21; а₁ + 9d – а₁ – 2d = 21;

2а₁ + 6d = 42; d = 3; d = 3;

7d = 21; а₁ = 21 – 3d; а₁ = 12.

Відповідь: b₁ = 12; d = 3.

2) а₁ + а₆ = 10; а₁ + а₁ + 5d = 10;

а₂ • а₈ = –23; (а₁ + d) • (а₁ + 7d) = –23;

2а₁ + 5d = 10 | :2; а₁ = 5 – 2,5d;

а₁² + а₁d + 7а₁d + 7d² = –23; а₁² + 8а₁d + 7d² = –23;

(5 – 2,5d)² + 8(5 – 2,5d)d + 7d² + 23 = 0;

25 – 25d + 6,25d² + 40d – 20d² + 7d² + 23 = 0;

–6,75d² + 15d + 48 = 0;

D = 15² – 4 • (–6,75) • 48 = 225 + 1296 = 1521 = 39²;

d₁ = $\frac{-15-39}{-\mathrm{13,5}}$ = $\frac{-54}{-\mathrm{13,5}}$ = 4;

d₂ = $\frac{-15+39}{-\mathrm{13,5}}$ = $\frac{24}{-\mathrm{13,5}}$ = –$\frac{7}{9}$;

d = 4; а1 = 5 – 2,5 • 4;	d = –1$\frac{7}{9}$; а1 = 5 – $\frac{25}{10}$ • $\frac{16}{9}$;
d = 4; а1 = –5;	d = –1$\frac{7}{9}$; а1 = $\frac{5}{9}$.

Відповідь: а₁ = –5; d = 4 або а₁ = $\frac{5}{9}$, d = –1$\frac{7}{9}$.