Відповіді на вправи: 19.18

19.18. Доведіть тотожність.

Розглянемо геометричну прогресію (c_n), y якої c₁ = 1, q = –a. Тоді

(a²ⁿ – a^2n–1 + … + a² – a + 1) – сума (2n + 1) членів цієї прогресії.

S_2n+1 = $\frac{c_1(q^{2n}-1)}{q-1}$, (a²ⁿ – a^2n–1 + … + a² – a + 1) = $\frac{{(-a)}^{2n+1}-1}{-a-1}$;

(a²ⁿ – a^2n–1 + … + a² – a + 1) = $\frac{a^{2n+1}+1}{a+1}$, звідки a²ⁿ⁺¹ + 1 = (a + 1) • (a²ⁿ – a^2n–1 + … + a² – a + 1), що й треба було довести.