Відповіді на вправи: 19.17

19.17. Доведіть тотожність.

Розглянемо геометричну прогресію (b_n), у якої b₁ = 1, q = а.

Тоді (а^n–1 + а^n–2 + ... + а² + а + 1) — сума n членів цієї прогресії.

S_n = $\frac{1(a^n-1)}{a-1}$, (a^n–1 + a^n–2 + … + a² + a + 1) = $\frac{a^n-1}{a-1}$, звідки

аⁿ – 1 = (а – 1)(а^n–1 + а^n–2 + ... + а² + а + 1), що й треба було довести.