Відповіді на вправи: 17.32

17.32. Доведіть, що в арифметичній прогресії з парною кількістю членів, яка складається із цілих чисел, сума другої половини більша за суму першої половини на число, яке кратне квадрату половини кількості членів.

Розглянемо арифметичну прогресію з кількістю членів 2n. Тоді сума

перших n членів дорівнює S_n = $\frac{{2a}_1+d(n-1)}{2}$ • n; сума другої половини членів дорівнює

S’_n = $\frac{{2a}_1+d(2n-1)}{2}$ • n;

S’_n – S_n = $\frac{{2a}_1+d(2n-1)}{2}$ • n – $\frac{{2a}_1+d(n-1)}{2}$ • n = $\frac{{2a}_1+2\mathrm{dn}-d-{2a}_1-\mathrm{dn}+d}{2}$ • n = $\frac{{\mathrm{dn}}^2}{2}$.

Отже, різниця кратна квадрату половини кількості членів прогресії n².