Відповіді на вправи: 16.42

16.42. Доведіть, що коли значення виразів $\frac{1}{b+c}$, $\frac{1}{a+c}$ і $\frac{1}{a+b}$ є

послідовними членами арифметичної прогресії, то значення виразів a², b² і c² також є послідовними членами арифметичної прогресії.

Нехай $\frac{1}{b+c}$, $\frac{1}{a+c}$ і $\frac{1}{a+b}$ – послідовні члени арифметичної прогресії. Тоді

$\frac{1}{a+c}$ = $\frac{1}{2}$($\frac{1}{b+c}$ + $\frac{1}{a+b}$) або $\frac{2}{a+c}$ = $\frac{1}{b+c}$ + $\frac{1}{a+b}$;

$\frac{2}{a+c}$ = $\frac{a+b+b+c}{(b+c)(a+b)}$; $\frac{2}{a+c}$ = $\frac{a+2b+c}{\mathrm{ab}+\mathrm{ac}+\mathrm{bc}+b^3}$;

2(b² + ab + ac + bc) = (a + c)(a + 2b + c);

2b² + 2ab + 2ac + 2bc = a² + 2ab + ac + ac + 2bc + c²;

2b² = –2ab – 2ac – 2bc + a² + 2ab + 2ac + 2bc + c²;

2b² = a² + c²; b² = $\frac{a^2+c^2}{2}$, тобто a², b² і c² – теж послідовні члени арифметичної прогресії.