Відповіді на вправи: 16.41

16.41. Доведіть, що коли додатні числа a, b і c — три послідовних

члени арифметичної прогресії, то $\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ + $\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}$ = $\frac{2}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}$.

$\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ = $\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})}$ = $\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b}$; аналогічно,

$\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}$ = $\frac{\sqrt{b}-\sqrt{c}}{b-c}$, $\frac{2}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}$ = $\frac{2(\sqrt{a}+\sqrt{c})}{a-c}$.

Враховуючи, що a₁ = a, a₂ = b = a + d, a₃ = c = a + 2d, маємо:

$\frac{\sqrt{a}-\sqrt{a+d}}{a-a-d}$ + $\frac{\sqrt{a+d}-\sqrt{a+2d}}{a+d-a-2d}$ = $\frac{2(\sqrt{a}-\sqrt{a+2d})}{a-a-2d}$;

$\frac{\sqrt{a}-\sqrt{a+d}}{-d}$ + $\frac{\sqrt{a+d}-\sqrt{a+2d}}{-d}$ = $\frac{\sqrt{a}-\sqrt{a+2d}}{-d}$;

$\frac{\sqrt{a}-\sqrt{a+d}+\sqrt{a+d}-\sqrt{a+2d}}{-d}$ = $\frac{a-\sqrt{a+2d}}{-d}$; $\frac{a-\sqrt{a+2d}}{-d}$ = $\frac{a-\sqrt{a+2d}}{-d}$.

Що і треба було довести.