Задачі підвищеної складності: 53 (1-4)

53. Послідовність називають зростаючою, якщо кожний її

член, починаючи з другого, більший за попередній. Які з послідовностей є зростаючими:

1) а_n+1 = 5(n + 1) –7 = 5n + 5 – 7 = 5n – 2.

Знайдемо різницю а_n+1 – а_n = 5n – 2 – (5n – 7) = 5n – 2 – 5n +7 = 5 > 0, отже, послідовність зростаюча;

2) b_n+1 = З – 4(n + 1) = 3 – 4n – 4 = –4n – 1; b_n+1 – b_n = –4_n – 1 – (3 – 4n) = –4n – 1 – 3 + 4n = –4 < 0, отже, послідовність не є зростаючою;

3) с_n+1 = (–1)ⁿ⁺¹; сⁿ⁺¹ – с_n = (–1)ⁿ⁺¹ – (–1)ⁿ = (–1)ⁿ • ((–1) – 1) = (–1)ⁿ • 0 = 0, отже, послідовність не є зростаючою;

4) x_n+1 = 6n+1;

x_n+1 – x_n = 6n+1 – 6n = 6n-6n-6n+1•n = -6n+1• n < 0, отже, послідовність не є зростаючою;

5) у_n+1 = -8n+1;

у_n+1 – у_n = -8n+1 + 8n = -8n+8n+1n+1• n = 1n+1• n > 0, отже, послідовність зростаюча;

6) а_n+1 = (n + 1)² + 7(n + 1) = n² + 2n + 1 + 7n + 7 = n² + 9n + 8; n² + 9n + 8 – n² = 2n + 8 > 0, отже, послідовність зростаюча;

7) b_n+1 = (n + 1)³ = n³ + Зn² + Зn + 1; b_n+1 – b_n = n³ + Зn² + 3n + 1 – n² = 3n² + 3n + 1 > 0, отже, послідовність зростаюча;

8) c_n+1 = (n + 1)² – 8(n + 1) = n² + 2n + 1 – 8n – 8 = n² – 6n – 7;

с_n+1 – с_n = n₂ – 6n – 7 – n² + 8n = 2n – 7 — знак вираз визначити неможливо, отже, послідовність не є зростаючою;

9) x_n+1 = (1 – (n + 1))² = 1 – 2(n + 1) + (n + 1)² = 1 – 2n – 2 + n² + 2n + 1 = n² – (1 – n)² = n² – 1 + 2n – n² = 2n – 1 > 0, отже, послідовність зростаюча.