Задачі підвищеної складності: 54 (1-3)

54. Послідовність називають спадною, якщо кожний її член, починаючи з другого, менший від попереднього. Які з послідовностей є спадними.

1) c_{n+1 =} 12(n + 1) – 8 = 12n + 12 – 8 = 12n – 712;

c_n+1 – c_n = 12n – 712 – 12n + 8 = 12 > 0, отже, послідовність не є спадною;

2) a_n+1 = 5 – 4(n + 1) = 4 – 5n – 5 = –5n – 1;

a_n+1 – a_n = –5n – 1 – (4 – 5n) = –5n – 1 – 4 + 5n = –5 < 0 отже послідовність спадна;

3) b_n+1 = (-1)n+1+12;

b_n+1 – b_n = (-1)n+1+12 – (-1)n+12 = (-1)n+12 + 12 – (-1)n2 – 12 = 12 • ((–1)ⁿ⁺¹ –(–1)ⁿ) = 12 • ((–1)ⁿ • (–1) – (–1)ⁿ) = 12 • (–1)ⁿ • (–1 – 1) = (–1)ⁿ – знак визначити неможливо, отже, послідовність не є спадною;

4) x_n+1 = 10n+1;

x_n+1 – x_n = 10n+1 – 10n = 10n-10n-1n+1• n = -1n+1• n < 0, отже, послідовність спадна;

5) y_n+1 = -1n+1;

y_n+1 = -1n+1 + 1n = -n+ n+1n+1• n = 1n+1• n > 0, отже, послідовність не є спадною;

6) с_n+1 = –(n + 1)² – (n + 1) = –(n² + 2n + 1) – n – 1 = –n² – 2n – 1 – n – 1 = –n² – 3n – 2;

с_n+1 – с_n = –n² – 3n – 2 + n² + n = –2(n + 1) < 0, отже, послідовність спадна;

7) g_n+1 = –(n + 1) + 1)³ = –((n + 1)³ +3(n + 1)² + 3(n + 1) + 1) = –(n³ + 3n² + 3n + 1 + 3n² + 6n + 3 + 3n + 3 + 1) = –(n³ + 6n² + 12n + 8;

q_n+1 – g_n = –n³ – 6n² – 12n – 8 + (n³ + 3n² + 3n + 1) = –3n² – 9n – 7 = –(3n² + 9n + 7) < 0, отже, послідовність спадна;

8) b_n+1 = –2(n + 1)² + 10(n + 1) = –2(n² + 2n + 1) + 10n + 10 = –2n² – 4n – 2 + 10n + 10 = –2n² + 6n + 8;

b_n+1 – b_n = –2n² + 6n + 8 + 2n² – 10n = –4n + 8 = –4(n – 2), знак виразу визначити неможливо, отже, послідовність не є спадною;

9) x_n+1 = 1(n+1)5;

xn+1xn = 1(n+1)5; 1n5 = (n+1n+1 – 1n+1)⁵ = (1 – 1n+1)⁵ < 1, отже, послідовність спадна.