Задачі підвищеної складності: 54 (1-3)

54. Послідовність називають спадною, якщо кожний її член, починаючи з другого, менший від попереднього. Які з послідовностей є спадними.

1) c_{n+1 =} $\frac{1}{2}$(n + 1) – 8 = $\frac{1}{2}$n + $\frac{1}{2}$ – 8 = $\frac{1}{2}$n – 7$\frac{1}{2}$;

c_n+1 – c_n = $\frac{1}{2}$n – 7$\frac{1}{2}$ – $\frac{1}{2}$n + 8 = $\frac{1}{2}$ > 0, отже, послідовність не є спадною;

2) a_n+1 = 5 – 4(n + 1) = 4 – 5n – 5 = –5n – 1;

a_n+1 – a_n = –5n – 1 – (4 – 5n) = –5n – 1 – 4 + 5n = –5 < 0 отже послідовність спадна;

3) b_n+1 = $\frac{{(-1)}^{n+1}+1}{2}$;

b_n+1 – b_n = $\frac{{(-1)}^{n+1}+1}{2}$ – $\frac{{(-1)}^n+1}{2}$ = $\frac{{(-1)}^{n+1}}{2}$ + $\frac{1}{2}$ – $\frac{{(-1)}^n}{2}$ – $\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{2}$ • ((–1)ⁿ⁺¹ –(–1)ⁿ) = $\frac{1}{2}$ • ((–1)ⁿ • (–1) – (–1)ⁿ) = $\frac{1}{2}$ • (–1)ⁿ • (–1 – 1) = (–1)ⁿ – знак визначити неможливо, отже, послідовність не є спадною;

4) x_n+1 = $\frac{10}{n+1}$;

x_n+1 – x_n = $\frac{10}{n+1}$ – $\frac{10}{n}$ = $\frac{10n-10n-1}{(n+1)•n}$ = $\frac{-1}{(n+1)•n}$ < 0, отже, послідовність спадна;

5) y_n+1 = $-\frac{1}{n+1}$;

y_n+1 = $-\frac{1}{n+1}$ + $\frac{1}{n}$ = $\frac{-n+n+1}{(n+1)•n}$ = $\frac{1}{(n+1)•n}$ > 0, отже, послідовність не є спадною;

6) с_n+1 = –(n + 1)² – (n + 1) = –(n² + 2n + 1) – n – 1 = –n² – 2n – 1 – n – 1 = –n² – 3n – 2;

с_n+1 – с_n = –n² – 3n – 2 + n² + n = –2(n + 1) < 0, отже, послідовність спадна;

7) g_n+1 = –(n + 1) + 1)³ = –((n + 1)³ +3(n + 1)² + 3(n + 1) + 1) = –(n³ + 3n² + 3n + 1 + 3n² + 6n + 3 + 3n + 3 + 1) = –(n³ + 6n² + 12n + 8;

q_n+1 – g_n = –n³ – 6n² – 12n – 8 + (n³ + 3n² + 3n + 1) = –3n² – 9n – 7 = –(3n² + 9n + 7) < 0, отже, послідовність спадна;

8) b_n+1 = –2(n + 1)² + 10(n + 1) = –2(n² + 2n + 1) + 10n + 10 = –2n² – 4n – 2 + 10n + 10 = –2n² + 6n + 8;

b_n+1 – b_n = –2n² + 6n + 8 + 2n² – 10n = –4n + 8 = –4(n – 2), знак виразу визначити неможливо, отже, послідовність не є спадною;

9) x_n+1 = $\frac{1}{{(n+1)}^5}$;

$\frac{x_{n+1}}{x_n}$ = $\frac{1}{{(n+1)}^5}$; $\frac{1}{n^5}$ = ($\frac{n+1}{n+1}$ – $\frac{1}{n+1}$)⁵ = (1 – $\frac{1}{n+1}$)⁵ < 1, отже, послідовність спадна.