Задачі підвищеної складності: 28 (1-2)

28. Розв’яжіть нерівність:

Нерівність виду |f(x)| ≤ а при а > 0 рівносильна системі f(x) ≤ a,

f(x) > –a;

при а < 0 розв’язків немає.

Нерівність виду |f(х)| ≥ а при а > 0 рівносильна сукупності нерівностей f(x) ≥ а або f(x) ≤ –а, можна написати так: f(x) ≥ a,

f(x) ≤ –a.

1) |х² + Зх| > 4; х² + Зх > 4 або х² + Зх < –4.

Якщо х² + Зх > 4, то х² + Зх – 4 > 0. х² + Зх – 4 = 0 при х = –4 або

х = 1. Розв’язок: х < –4 або х > 1.

Якщо х² + Зх > –4, то х² + Зх + 4 > 0. х² + Зх + 4 = 0 при х = –4 або х = –1. Розв’язок: х < –4 або х > –1.

Розв’язком нерівності |х² + Зх| > 4 є переріз одержаних розв’язків:

x < –4 або x > 1.

2) |x² + 4x| < 5; x² + 4x < 5, x² + 4x – 5 < 0, x = –5 або x = 1,

x² + 4x > –5; x² + 4x + 5 > 0; розв’язків немає;

–5 < x < 1.

Відповідь: (–5; 1).

3) |2x² + 5x – 4| ≤ 3; 2x² + 5x – 4 ≤ 3, 2x² + 5x – 7 ≤ 0,

2x² + 5x – 4 ≥ –3; 2x² + 5x – 1 ≥ 0.

1) 2x² + 5x – 7 = 0; D = 25 + 56 = 81;

x = $\frac{-5+9}{4}$ = 1 або x= $\frac{-5-9}{4}$ = –3,5;

2) 2x² + 5x – 1 = 0; D = 25 + 8 = 33; x = $\frac{-5+\sqrt{33}}{4}$ або x = $\frac{-5-\sqrt{33}}{4}$.

–3,5 ≤ x < 1,

x ≥ $\frac{-5-\sqrt{33}}{4}$ або x ≤ $\frac{-5+\sqrt{33}}{4}$;

–3,5 ≤ x ≤ $\frac{-5-\sqrt{33}}{4}$ або $\frac{\sqrt{33}-5}{4}$ ≤ x ≤ 1.

Відповідь: –3,5 ≤ x ≤ $\frac{-5-\sqrt{33}}{4}$ або $\frac{\sqrt{33}-5}{4}$ ≤ x ≤ 1.

4) |2 + 4x – 3x²| ≥ 2;

a) 2 + 4a – 3x² ≥ 2; 3x² – 4x ≤ 0; x(3x – 4) ≤ 0; 0 ≤ x ≤ $\frac{4}{3}$;

б) 2 + 4x – 3x² ≥ –2; 3x² – 4x – 4 ≥ 0;

D = 16 + 48 = 64; x = $\frac{4+8}{6}$ = 2 або x = $\frac{4-8}{6}$ = –$\frac{2}{3}$. x ≤ –$\frac{2}{3}$ або x ≥ 2.

Відповідь: x ≤ –$\frac{2}{3}$ або 0 ≤ х ≤ $\frac{4}{3}$ або х ≥ 2.