Вправи для повторення розділу 3: 43

43. Чи можуть довжини сторін прямокутного трикутника утворювати

геометричну прогресію? Якщо так, укажіть знаменник такої прогресії.

Розв’язання

Нехай сторони прямокутного трикутника утворюють геометричну прогресію a; aq; aq^2, q > 1.

За теоремою Піфагора:

a² + (aq)² = (aq²)²|: a²;

1 + q² = q⁴;

q⁴ – q² – 1 = 0;

t = q², t > 0;

t² – t – 1 = 0;

D = (–1)² – 4 • 1 • (–1) = 1 + 4 = 5.

t₁ = $\frac{1+\sqrt{5}}{2•1}$ = $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$; t₂ = $\frac{1-\sqrt{5}}{2•1}$ = $\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ < 0.

q² = $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$; q = $\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}$.

Відповідь: можуть; q = $\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}$.