Вправи для повторення розділу 2: 53 (1)

53. Для кожного значення а розв’яжіть нерівність (де х – змінна):

1) х² + х(2 + а) + 2а < 0.

х² + х(2 + а) + 2а = 0;

D = (2 + а)² – 4 • 2а = 4 + 4а + а² – 8а = а² – 4а + 4 = (а – 2)².

х_1,2 = $\frac{-a-2\pm |a-2|}{2}$. Якщо а < 2, то х_1,2 = $\frac{-a-2\pm (-a+2)}{2}$.

x₁ = $\frac{-a-2+a-2}{2}$ = –2, x₂ = $\frac{-a-2-a+2}{2}$ = –a. Тоді –2 < х < –а.

Якщо а = 2, то D = 0, квадратний тричлен має тільки один корінь,

і оскільки коефіцієнт при х² додатний, то нерівність розв’язків не має. Якщо а > 2, то а – 2 > 0, тоді

х₁ = $\frac{-a-2+a-2}{2}$ = –2, х₂ = $\frac{-a-2-a+2}{2}$ = –a.

–а < х < –2.

Відповідь: якщо а < 2, то –2 < х < –а; якщо а = 2, то розв’язків немає; якщо а > 2, то –а < х < –2.

2) х² – х(а – 3) – (2а² + 6а) ≥ 0.

x² – х(а – 3) – (2а² + 6а) = 0;

D = (а – З)² + 4(2а2 + 6а) = а² – 6а + 9 + 8а² + 24а = 9а² + 18а + 9 = 9(а² + 2а + 1) = 9(а + 1)².

х_1,2 = $\frac{a-3\pm |a+1|}{2}$.

Якщо а < –1, то x₁ = $\frac{a-3+3(-a-1)}{2}$ = $\frac{a-3-3a-3}{2}$ = –а – З,

x₂ = $\frac{a-3+3(a+1)}{2}$ = $\frac{a-3+3a+3}{2}$ = 2а. Тоді х ≤ 2а або х ≥ – а – 3.

Якщо а = –1, тоді квадратний тричлен набуває тільки невід’ємних значень і розв’язком нерівності є будь–яке число.

Якщо а > –1, то а + 1 > 0,

х₁ = $\frac{a-3+3a+3}{2}$ = $\frac{4a}{2}$ = 2а, х₂ = $\frac{a-3-3a-3}{2}$ = $\frac{-2a-6}{2}$ = –а – З,

де х₁ > х₂, тому х ≤ –а – 3 або х ≥ 2а.

Відповідь: якщо а < –1, то х ≤ 2а або х ≥ –а – 3; якщо а = –1, та х — будь–яке число; якщо а > –1, то х ≤ –а – 3 або х ≥ 2а.