Відповіді до завдань § 15 - § 21: 18.34

18.34. Дано квадрат з і стороною 16 см. Середини його сторін є вершинами другого квадрата, а середини сторін другого квадрата є вершинами третього і так само далі. Знайдіть площу шостого квадрата, побудованого в такий спосіб.

АВСD — квадрат, АВ = 16 см. А₁, В₁, С₁, D₁ — середини його сторін. Тоді ∆А₁ВВ₁ = ∆В₁СС₁ = ∆С₁DD₁ = ∆D₁АА₁ за двома катетами:

АВ = АВ₁ = В₁С = СС₁ = С₁D = DD₁ = АD₁ = АА₁ = 12AB = 12 • 16 = 8 см.

Тоді A₁B₁ = A1B2+BB12 = 82+82 = 82 (см).

Аналогічно A₂B₂ = A2B12 +B2B12 = (822)2 +(822 )2 = 8 (см) і т. д.

A2B2A1B1 = 882 = 22; A1B1AB = 8216 = 22.

Отже, сторони квадратів – це члени геометричної прогресії, де

a₁ = 16, q = 22. Тоді a₆ = a₁ • q⁵ = 16 • (12)⁵ = 1642 = 42;

S₆ = a62 = (42)² = 162 = 8 (см²).

Відповідь: 8 см².