Відповіді §.3 - §.4 » §.3 (3)

Доведіть твердження: Довести: 1) якщо а ≥ 9, b ≥ 15, то ab ≥ 135. a • b ≥ 9 • 15. ab ≥ 135. 2) якщо a – b ≥ √2, a + b ≥ 14√2, то a2 – b2 ≥ 28. (a – b)(a + b) = a2 – b2 ≥ √2 • 14√2 a2 – b2 ≥ 28. 3) a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0. (a2 + 1)(b2 + 1) ≥ 4ab. a2b2 + a2 + b2 + 1 – 4ab ≥ 0. a2 – 2ab + b2 + a2b2 – 2ab + 1 ≥ 0. (a – b)2 + (ab – 1)2 ≥ 0. Сума квадратів завжди невід’ємна. Доведено. 4) (1 + a)(5 + b)(5 + c) ≥ 40√abc (5 + b + 5a + ab)(5 + c) – 40√abc ≥ 0. 25 + 5c + 5b + bc + 25a + 5ab + 5ac + abc – 40√abc ≥ 0. (abc – 10√abc + 25) + (25a – 10√abc + bc) + (5c – 10√abc + 5ab) + + (5ac – 10√abc + 5c) ≥ 0. Доведено.