Задачі підвищеної складності з геометрії: 21 (1-2)

21. Через середину найбільшої сторони трикутника проведено

пряму, яка відтинає від нього трикутник, подібний даному. Знайдіть найменшу сторону трикутника, що відтинається, якщо сторони даного дорівнюють: 1) 42 см; 49 см; 56 см; 2) 42 см; 49 см; 63 см; 3) 42 см; 49 см; 70 см. Скільки розв’язків має задача в кожному з випадків?

	I випадок. MK перетинає BC і MK ∥ AC.∆ACB ~ ∆МКВ. Тоді найменша сторона трикутникаMKB дорівнює половині найменшої сторони трикутника ABC, тобто половині AC, а саме: 1) 21 см; 2) 21 см; 3) 21 см.
	II випадок. MK перетинає AC і MK ∥ BC.∆AKM ~ ∆АСВ. В цьому випадку також найменшасторона ∆AKM дорівнює половині AC.

III випадок. MK перетинає ВС, проте MK не паралельна AC, тоді ∠C = ∠KMB і ∆АВС ~ ∆КВМ.АВКВ = АСКМ = ВСВМ; найменша – КМ. 1) 63КВ = 42КМ = 4928; КМ = 24 см; КВ = 32 см.

2) 63КВ = 42КМ = 4931,5; КМ = 27 см; КВ = 40,5 см.

3) 70КВ = 42КМ = 4935; КМ = 30 см; КВ = 50 см. Але КВ < СМ. Тому неможливо КВ = 50 см.

IV випадок. MK перетинає AC, проте MK не паралельна до ВС. Тоді ∠AKM = ∠B і ∆AKM ~ ∆АВС;АКАВ = АМАС = КМВС.1) АК56 = 2842 = КМ49; АК = 3713 см; КМ = 3223 см.АМ = 28 см – найменша сторона ∆АКМ.

2) АК63 = 31,542 = КМ49; АК = 47,25 см. Це неможливо, оскільки АС = 42 см.

3) АК70 = 3542 = КМ49; АК = 5813 см. Це неможливо, оскільки АС = 42 см.

Відповідь: 1) 21 см або 24 см або 28 см; 2) 21 см або 27 см; 3) 21 см.