Вправи: 9.26

9.26 На сторонах квадрата зовні побудовано рівносторонні трикутники. Доведіть, що вершини трикутників, які не є вершинами заданого квадрата, є вершинами іншого квадрата.

1) Нехай ABCD — заданий квадрат, а АВЕ,BCF, CDG і DAH — рівносторонні трикутники.Треба довести, що EFGH — квадрат.2) ∠ABE = ∠CBF = 60°; тоді ∠EBF = 180° – (90° + 2 • 60°) = 150°.3) Оскільки AB = BC і BE = AB; BF = BC, то BE = BF. Тому ∆EBF — рівнобедрений;∠BEF = ∠BFE = 180°-150°2 = 15°.

4) Аналогічно ∠AEH = 15°. Тоді ∠HEF = 15° + 60° + 15° = 90°.

5) Аналогічно ∠EFG = ∠FGH = ∠GHE = 90°. За задачею №7.9 маємо

EFGH — прямокутник.

6) За аналогією з п. 2), отримаємо ∠GCF = 150°. Тоді ∆EBF = ∆GCF (за першою ознакою), а тому EF = FG.

7) EFGH — прямокутник і EF = FG, тому EFGH — квадрат, що й треба

було довести.