Контрольні роботи ВАРІАНТ 1: Кр.3 (6.2)

6*. Доведіть, що середини сторін прямокутника є вершинами ромба.

Дано: ANCD – прямокутник;

точки K, L, M, N – середини ;

сторін AB, BC, CD, DA.

Довести: чотирикутник KLMN – ромб.

Доведення

1. Розглянемо $∆$АВС, KL – з’єднує середини сторін АВ та ВС, отже KL – середня лінія трикутника.

За властивістю середньої лінії KL = $\frac{1}{2}$AC;

2. Аналогічно: $∆$ADC : MN = $\frac{1}{2}$AC.

$∆$ABD KN = $\frac{1}{2}$BD; $∆$BCD : LM = $\frac{1}{2}$BD.

3. AC = BD – діагоналі прямокутника.

Оскільки AC = BD, то $\frac{\mathrm{AC}}{2}$ = $\frac{\mathrm{BD}}{2}$ $\Rightarrow$ KL = MN = KN = LM = $\frac{1}{2}$AC.

Тому KLMN – ромб. Що й треба було довести.