Вправи: 754

754. Точка дотику кола, вписаного в прямокутний трикутник, ділить

гіпотенузу на відрізки 3 см і 10 см. Знайди сторони трикутника.

Дано: ∆ABC (∠C = 90°), описаного навколо кола; BK = 3 см; AK = 10 см.

Знайти: AC, BC, AB.

Розв'язання

Нехай r = x см, тоді DC = CM = x см.

AC = AD + DC = (10 + x) см,

BC = MB + CM = (3 + x) см,

AB = AK + KB = 10 + 3 = 13 (см).

∆ABC (∠C = 90°):

AB² = AC² + BC²;

(10 + x)² + (3 + x)² = 13²;

100 + 20x + x² + 9 + 6x + x² = 169;

2x² + 26x – 60 = 0 | : 2;

x² + 13x – 30 = 0;

x₁ = –15 не задовольняє умову;

x₂ = 2.

AC = 10 + 2 = 12 (см); BC = 3 + 2 = 5 (см).

Відповідь: 12 см 5 см і 13 см.