Вправи: 725

725. Знайди сторони прямокутника, якщо: а) одна зі сторін дорівнює 5 см, а діагональ 13 см; б) діагональ дорівнює 1 0 см і утворює зі стороною кут 60°; в) сторони пропорційні числам 5 і 12, а діагональ дорівнює 26 см; ґ) одна зі сторін дорівнює 15 см, а друга на 9 см менша від діагоналі.

Дано: ABCD – прямокутник;

АС – діагональ.

Знайти: АВ, ВС, якщо

а) АВ = 5 см, АС = 13 см;

∆АВС (∠В = 90°): ВС² = АС² – АВ²;

ВС² = 13² – 5² = 169 – 25 = 144; ВС = 12 см.

б) АС = 10 см; ∠ВАС = 60°.

∆АВС (∠В = 90°): ∠С = 90° – ∠А = 90° – 60° = 30°.

За властивістю катета, що лежить проти кута 30°:

АВ = 12АС = 12 • 10 = 5 (см);

ВС² = АС² – АВ²; ВС² = 10² – 5² = 100 – 25 = 75;

ВС = 75 = 25 •3 = 53 (см);

в) АВ : ВС = 5 : 12; АС = 26 см;

Нехай АВ = 5х см, а ВС = 12х см;

∆АВС (∠В = 90°): АС² = АВ² + ВС²;

(5х)² + (12х)² = 26²;

25х² + 144х² = 676;

169х² = 676 |: 169;

x² = 4; AB = 5 • 4 = 20 (см), ВС = 12 • 4 = 48 (см).

г) АВ = 15 см, ВС < AC на 9 см.

Нехай ВС = х см, тоді АС = (х + 9) см.

∆АВС (∠В = 90°): АС² = АВ² + ВС²;

(х + 9)² = 15² + х²;

х² + 18х + 81 = 225 + х²;

18х = 225 – 81;

18х = 144| : 18;

x = 8; ВС = 8 см.

Відповідь: а) 5 см і 12 см; б) 5 см і 53 см; в) 20 см і 48 см; г) 15 см і 8 см.