Вправи: 677

677. Радіус кола, вписаного в ромб, дорівнює 6 см. Знайди периметр

ромба, якщо коло точкою дотику ділить сторону на відрізки,

пропорційні числам 1 і 4.

Дано: ABCD – описаний ромб;

ОН = 6 см; DH : CH = 1 : 4.

Знайти: P_ABCD

Розв’язання

Якщо точка О – центр вписаного кола, то ОС і OD – бісектриси ∠С і ∠D.

Оскільки ∠С + ∠D = 180°, то ∠OCD + ∠ODC = 90°, тоді ∠COD = 90°.

Радіус ОН – висота ∆DOC (∠O = 90°). OH2 = DH • CH.

Нехай DH = х см, тоді СН = 4х см.

6² = х • 4х.

4x² = 36;

x² = 9;

x = 3.

DH = 3 см; СН = 4 • 3 = 12 (см);

DC = DH + CH = 3 + 12 = 15 (см);

P_ABCD = 4 • DC = 4 • 15 60 (см).

Відповідь: 60 см.