Вправи: 651

651. Відстань від центроїда трикутника до довільної прямої, яка не

перетинає трикутник, дорівнює середньому арифметичному відстаней від усіх його вершин до цієї прямої. Доведи це, користуючись малюнком 11.17.

Дано: ∆АВС; пряма l, M – центроїд;

АА₁ = а; ВВ₁ = b; CC₁ = c;

MM₁ = m.

Довести: m = a+b+c3.

Доведення

Оскільки пряма l не перетинає ∆АВС, проекції точок на пряму l (B₁ і С₁) утворюють трапецію ВСС₁В₁.

КК₁ – середня лінія трапеції: КК₁ = ВВ1+ СС12 = b+c2;

Точка М лежить на медіані АК і ділить її у відношенні 2 : 1.

АМ = 23АК.

Розглянемо прямокутну трапецію А₁АКК₁: ММ₁ ∥ АА₁.

ММ₁ = 1 • АА1+ 2КК11+2 = а+2 • b+c23 = a+b+c3.

Отже, m = a+b+c3.