Вправи: 294

294. Діагональ рівнобічної трапеції є бісектрисою її гострого кута. Знайди більшу основу трапеції, якщо її менша основа дорівнює 6 см і менший кут — 60°.

AB = CD, BC = 6 см; ∠BAC = ∠CAB; ∠A = 60°.

Знайти довжину AD.

За умовою ∠A = 60° і ∠BAC = ∠CAD = 12∠A = 12 • 60° = 30°.

Але ∠CAD = ∠BCA як внутрішні різносторонні кути з січною AC та паралельними прямими BC і AD, тобто ∠ACB = ∠CAD = ∠BAC = 30°. Тоді в ∆АВС кути при стороні AC рівні, ∠BAC = ∠BCA, що означає рівнобедреність ∆ABC, AB = BC = 6 (см). В ∆ABD більший з гострих

кутів ∠BAD = 60°, а менший ∠ADB = 30° за умовою. Тоді ∆ABD —

прямокутний (∠B = 90°) і катет AB лежить проти кута в 30°, тому

AB = 12AD або AD = 2АВ = = 2 • 6 = 12 (см). Отже, довжина більшої основи даної трапеції дорівнює 12 см.