Вправи: 184

184. З вершин B i D паралелограма ABCD на діагональ AC опущено перпендикуляри BM і DN (М ∈ AC, N ∈ AC). Доведи, що B M D N — паралелограм.

Дано: ABCD – паралелограм; BM ⊥ AC, DN ⊥ AC.

Довести: BMDN – паралелограм.

Доведення

BM ⊥ AC; DN ⊥ AC, тоді BM ∥ DN.

В ∆ AMB і ∆CND:

1) AMB = CND = 90°;

2) AB = CD – за умовою;

3) ∠BAM = ∠DCN – як внутрішні різносторонні при AB ∥ CD і січній АС.

Отже, ∆АМВ = ∆CND за гіпотенузою і гострим кутом.

Тоді BM = DN як відповідні сторони рівних трикутників.

BM ∥ DN, BM = DN, тоді BMDN – паралелограм.