Вправи: 181

181. На сторонах BC і CD ромба ABCD у зовнішню сторону побудовано квадрати BMNC і CKPD. Доведи, що AM = АР, AM ⊥ АР.

Дано: ABCD – ромб; BMNC, CKPD – квадрати.

Довести: АМ = АР; АМ ⊥ АР.

Доведення

В ∆МВА і ∆PDA:

1) MB = AD – за умовою.

2) BA = DP – за умовою;

3) ∠MBA = ∠PDA – за побудовою.

Отже, ∆MBA = ∆PDA за двома сторонами і кутом між ними.

Тоді АМ = AB як відповідні сторони рівних трикутників.

∠MAB і ∠PAD доповнюють ∠BAD до 90°.

∠МАР = 90°, тоді АМ ⊥ АР.

Стор.33

Задачі за готовими малюнками

А.

1. ∠A = ∠C = 30°, ∠D = 2∠B, ∠B, ∠D– ?

Сума внутрішніх кутів чотирикутника дорівнює 360°, тому ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°, 30° + ∠B + 30° + ∠D = 360°,

∠B + ∠D = 300°, ∠B + 2∠B = 300°,

3∠B = 300°, ∠B = 100°,

∠D = 2 • 100° = 200°.

2. ABCD — паралелограм, AB ⊥ BD, ∠ACD = 30°.

Потрібно довести, що: AO = BD.

∠BAO = ∠ACD = 30° як внутрішні різносторонні кути при січній AC та паралельних прямих AB і CD. ∆ABO — прямокутний, катет BO лежить проти кута в 30°, тому його довжина складає половину довжини гіпотенузи:

BO = 12АО, AO = 2ВО, але BO = OD за властивостями діагоналей паралелограма. Тоді BD = BO + OD = 2ВО, отже, AO = BD, що й потрібно було довести.

3. ABCD — паралелограм, AB = AK, ∠CBK = 55°. ∠A, ∠D – ?

AB = BK, тому ∆ABK — рівнобедрений, ∠ABK = ∠AKВ, але ∠AKB = ∠CBK = 55° як внутрішні різносторонні кути при січній BK та паралельних прямих BC і AD, тому ∠ABK = 55° і ∠B = ∠ABK + ∠CBK = 110°, тоді ∠A= 180° – ∠B = 180° – 110° = 70°. ∠D = ∠B як протилежні кути паралелограма, ∠D = 110°.

4. ABCD — прямокутник, AC = 2AB. ∠COB — ?

В прямокутному ∆ABC AC = 2АВ, тоді ∠ACB = 30°, ∆СОВ — рівнобедрений, бо BO = CO за властивостями діагоналей прямокутника, тоді ∠CBO = ∠ACB = 30° і ∠COB = 180° – ∠ACB – ∠CBO = 180° – 30° – 30° = 120°.

Стор.34

Самостійна робота

Варіант 1

3. На діагоналі AC ромба ABCD відклали рівні відрізки AM і CN. Доведіть, що чотирикутник DMBN — ромб.

ABCD — ромб, AM = CN. Потрібно довести, що MBND — ромб.

Діагональ ромба ділить його кути навпіл: ∠BAM = ∠MAD, ∠BCN = ∠DCN.

∆BCN = ∆CDN за вдома сторонами і кутом між ними (BC = CD як сторони ромба, CN — спільна сторона). Так само ∆ABM = ∆ADM. Тоді BN = ND i BM = MD. Але ∆BMN = ∆MDN за трьома сторонами. Отже, BM = DN і BN = DM. Таким чином, в чотирикутнику MBND всі сторони рівні; за означенням чотирикутник MBND — ромб, що й потрібно було довести.

Варіант 2

1. Знайдіть кути ромба, якщо один із них на 30° більший за другий.

Нехай менший кут ромба має міру х, тоді міра більшого кута дорівнює (х + 30), де х — деяке число. Сума суміжних кутів ромба дорівнює 180°. Маємо рівняння: х + (х + 30) = 180; 2х + 30 = 180; 2х = 150; тоді х = 75°, х + 30 = 105°. Отже, кути ромба дорівнюють

75° і 105°.

Варіант 3

1. Знайдіть кути паралелограма, якщо різниця двох із них дорівнює 40°.

За умовою ABCD — паралелограм, в якому ∠B – ∠A = 40°. Але в будь–якому паралелограмі сума суміжних кутів ∠A + ∠B = 180°. Маємо систему рівнянь:

∠B + ∠A = 180° +

∠B – ∠A = 40°

2∠B = 180° + 40°; 2∠B = 220°, ∠B = 110°, тоді ∠A = 180° – ∠B = 180 – 110° = 70°. Отже, в даному паралелограмі ∠A = 70°, ∠B = 110°.

3. На сторонах BC і AD прямокутника ABCD відклали рівні відрізки BK і DL. Доведіть, що чотирикутник AKCL — паралелограм.

ABCD — прямокутник, BK = DL.

Потрібно довести, що AKCL — паралелограм.

За умовою BK = DL і ABCD — прямокутник, тому BC = AD. Тоді KC = AL. Крім того, BC ∥ AD, тому KC ∥ AL. Отже, в чотирикутнику AKCL протилежні сторони паралельні і рівні між собою, а це означає, що ∆KCL — паралелограм, що й потрібно було довести.

Варіант 4

1. Знайдіть кути ромба, якщо один із них у 3 рази більший за другий.

ABCD — ромб, ∠B = З∠A. Знайти ∠A і ∠B.

Нехай менший кут має міру х, тоді згідно умови міра більшого кута становить Зх, де х — деяке додатне число. В будь–якому ромбі сума кутів, прилеглих до однієї сторони ромба, дорівнює 180°.

Отримуємо рівняння: х + Зх = 180°;

4х = 180°; х = 45°. Отже, в ромбі ABCD ∠A = 45°, ∠B = З∠A = 3 • 45° = 135°.

3. Бісектриси кутів A і C прямокутника ABCD перетинають сторони BC і AD у точках M і N відповідно. Доведіть, що чотирикутник AMCN — паралелограм.

ABCD — прямокутник; AM — бісектриса ∠A, CN — бісектриса ∠C.

Потрібно довести: AMCN — паралелограм.

∆ABM і ∆CDN — прямокутні рівнобедрені з кутом 45° при основі. Вони рівні між собою за двома катетами, тоді AM = CN. Далі, BC = AD як протилежні сторони прямокутника, BM = DL як катети рівних трикутників, тоді CM = AN, бо CM = BC – BM і AN = AD – DL.

Але BC ∥ AD як протилежні сторони прямокутника, тоді і CM ∥ AN. Отже, в чотирикутнику AMCN протилежні сторони паралельні і рівні між собою, а це означає, що AMCN — паралелограм, що й треба було довести.

Стор.35

Тестові завдання

1. ABCD, прямокутник. Яке з тверджень хибне?

a) AB ⊥ BC; б) AC = BD; в) AC ⊥ BD; г) BC ∥ AD.

Твердження а), б) і г) — правильні:

а) за означенням прямокутника; б) згідно теоремі 5 підручника; г) як протилежні сторони прямокутника.

Твердження в) — хибне, бо взаємно перпендикулярні діагоналі мають лише ромб і квадрат.

2. ABCD — ромб. Який знак слід поставити замість *: AC * BD?

а) =; в) ||; б) ⊥; г) не можна визначити.

а) =, б) ⊥, в) ∥, г) не можна визначити. AC і BD — діагоналі ромба, які згідно з теоремою 6 підручника взаємно перпендикулярні, тому замість * слід поставити знак ⊥.

3. Сума кутів чотирикутника дорівнює: а) 120°; б) 90°; в) 180°; г) 360°.

Правильною є відповідь г). В будь–якому чотирикутнику сума його внутрішніх кутів дорівнює 360°.

5. Сума кутів паралелограма, прилеглих до однієї сторони, дорівнює:

а) 90°; б) 180°; в) 360°; г) 120°.

В будь–якому паралелограмі сума кутів, прилеглих до однієї сторони, дорівнює 180°, правильною є відповідь б).

6. Одна із сторін паралелограма дорівнює 5 см, а периметр — 16 см. Знайдіть довжину другої сторони:

а) 5 см; б) 6 см; в) 11 см; г) 3 см.

Периметр паралелограма зі сторонами а і b обчислюється за формулою P = 2(а + b). В даному випадку маємо 16 = 2(а + 5), а + 5 = 8, а = 3 (см). Отже, правильною є відповідь г).

7. Знайдіть кути ромба, якщо вони пропорційні числам 2 і 7.

а) 20° і 70°; б) 20° і 140°; в) 40° і 140°; г) 80° і 280°.

Якщо менший кут має міру 2х, то міра більшого кута становить 7х. Сума кутів, прилеглих до однієї сторони паралелограма, дорівнює 180°, тому 2х + 7х = 180, 9х = 180, х = 20; тоді 2х = 40 і 7х = 140. Отже, кути ромба дорівнюють 40° і 140°. в) — правильна відповідь.

8. Менша сторона прямокутника до­рівнює 5 см. Знайди довжину діагоналі, якщо вона утворює з більшою стороною кут 30°.

CD = AB = 5 см. В прямокутному ∆САD катет CD лежить проти кута в 30°, тому дорівнює половині гіпотенузи AC, тобто CD = 12AC, AC = 2CD = 2 • 5 = 10 (см). а) — правильна відповідь.

9. O — точка перетину діагоналей ромба ABCD. Визнач вид ∆АОВ:

а) гострокутний; б) прямокутний; в) упокутний; г) рівносторонній.

В будь–якому ромбі діагоналі взаємно перпендикулярні, тобто

∠AOB = 90°, ∆АОВ — прямокутний. Правильною є відповідь б).

10. Периметр квадрата 20 см. Знайди відстань від точки перетину діагоналей квадрата до його сторони.

Периметр квадрата P = 4AD, 4AD = 20, AD = 5 (см), тобто, сторона квадрата дорівнює 5 см. Точка O рівновіддалена від усіх сторін квадрата, OM = ON, але OM + ON = AD, 2OM = AD, OM = 12AD = 12 • 5 = 2,5 (см). Отже, відстань точки O від сторони квадрата дорівнює 2,5 см. Тим самим г) — правильна відповідь.

Стор.36

Типові задачі для тематичного контролю

1. Кути чотирикутника пропорційні числам 2, 4, 6 і 8. Знайди найбільший кут цього чотирикутника.

Кути чотирикутника ABCD пропорційні числам 2, 4, 6 і 8. Знайти ці кути.

Нехай x — коефіцієнт пропорційності. Тоді можна вважати, що міра ∠A, ∠B, ∠C і ∠D відповідно рівна 2х, 4х, 6x і 8х, де x — деяке число.

Оскільки сума внутрішніх кутів будь–якого чотирикутника дорівнює 360°, маємо рівняння: 2х + 4x + 6х + 8x = 360; 20x = 360; х = 18. Тоді ∠A = 2х = 2 • 18° = 36°, ∠B = 4x = 4 • 18° = 72°, ∠C = 6x = 6 • 18° = 108°, ∠D = 8х = 8 • 18° = 144°.

2. Периметр паралелограма дорівнює 120 см, а менша сторона 25 см. Знайди довжини інших його сторін.

ABCD — паралелограм. P = 120 см, AB = 25 см, AD > AB. Знайти довжину AD. Оскільки P = 2(AB + AD), маємо рівняння: 2 • (25 + AD) = 120, 25 + AD = 60, AD = 60 – 25 = 35 (см). Отже, сторона AD має довжину 35 см.

3. Діагональ прямокутника дорівнює 10 см і утворює зі стороною кут

30°. Знайди довжину меншої сторони прямокутника.

ABCD — прямокутник; AC = 10 см, ∠CAD = 30°. АВ > AD. Знайти AB.

В прямокутному ∆CAD катет CD = AB (як протилежні сторони прямокутника) лежать проти кута в 30°, тому його довжина вдвічі менша від довжини гіпотенузи ∆CAD; CD = 12AC = 12 • 10 = 5 (см). Таким чином, менша сторона прямокутника дорівнює 5 см.

4. Діагональ паралелограма АБСБ утворює зі сторонами кути 42° і 34°. Установи відповідність між кутами, заданими умовами (1-3), та їх градусними мірами (А-Д).

ABCD — паралелограм, ∠BAC = 42°, ∠CAD = 34°.

Потрібно знайти ∠A і ∠B. ∠A = ∠BAC + ∠CAD = 42° + 34° = 76°.

Сума кутів, прилеглих до однієї сторони паралелограма, дорівнює 180°, тому ∠A + ∠B = 180°, звідки ∠B = 180 – ∠A = 180° – 76° = 104°.

6. Один із кутів ромба дорівнює 120°. Знайди меншу діагональ ромба, якщо його периметр дорівнює 24 см.

ABCD — ромб; ∠B = 120°; BD — менша діагональ; P = 24 см. Знайти довжину BD.

Сума кутів, прилеглих до однієї сторони ромба, дорівнює 180°, тобто ∠A + ∠B = 180°, звідси ∠A = 180° – ∠B = 180° – 120° = 60°. Згідно теоремі 6 підручника, діагоналі ромба перпендикулярні і ділять кути при вершинах навпіл, тобто ∠ABD = 12∠B =60°. Тоді в ∆ABD ∠A = ∠ABD = 60°, звідки ∠ADB = 180° – ∠A – ∠ADB = 180° – 60° – 60° = 60°. Отже, ∆ABD — рівносторонній, BD = AB. За умовою P = 24 см, але P = 4AB. Маємо рівняння: 4AB = 24, AB = 6 (см). Таким чином, менша діагональ ромба дорівнює 6 см.

7. Знайди периметр паралелограма ABCD, якщо його менша сторона дорівнює 5 см, а бісектриси кутів A і D перетинаються в точці K, яка лежить на стороні BC. Знайди міру ∠AKD.

ABCD — паралелограм; ∠BAK = ∠KAD; ∠CDK = ∠ADK; AB = 5 см. Знайти міру ∠AKD, Р.

Сума кутів паралелограма, прилеглих до однієї сторони, дорівнює 180°, тобто ∠A + ∠D = 180°. Але ∠KAD = 12∠A, ∠ADK = 12∠D, тому ∠KAD + ∠ADK = 12(∠A + ∠D)= 90°.

Звідси ∠AKD = 180° – 90° = 90°. Далі, ∠KAD = ∠AKB як внутрішні різносторонні кути при січній AK та паралельних прямих BC і AD, тобто, ∆АBK — рівнобедрений, BK = AB. Так само ∆CKD —

рівнобедрений, CK = CD = AB.

Отже, BK = CK = AB, BC = 2АВ. P = AB + BC = 2(АВ + 2АВ) = 2 • ЗАВ = 6АВ = 6 • 5 = 30 (см).

8. У рівнобедрений прямокутний трикутник з гіпотенузою 15 см вписано прямокутник так, що дві його вершини лежать на гіпотенузі, а дві інші — на катетах. Знайди периметр прямокутника, якщо одна

з його сторін утричі більша за другу.

ABC — рівнобедрений прямокутний трикутник; AB = 15 см. MNLK — прямокутник; MN = 3MK. Знайти периметр прямокутника.

∆MNB і ∆AKP — прямокутні рівнобедрені і рівні між собою за двома катетами. Тоді BN = AL = MN. P = 2(MN + NL). Спочатку знайдемо значення MN. Маємо: AB = BM + NL + AL = NL + MN + MN = NL + 2MN = NK + 2 • ЗNL = 7NL. Тоді NL = 17АВ = 17 • 15 = 157 (см). Отже, P = MN + NL = ЗNL + NL = 4NL = 4 • 157 = 607 (см).

9. На діагоналі BD квадрата ABCD взято точки M і N такі, що BM = DN. Доведи, що AMCN — ромб. Знайди його периметр, якщо

MN = 4 см і ∠BAM = 15°.

ABCD — квадрат; BM = ND. Потрібно побудувати ромб AMCN.

Сума кутів, прилеглих до однієї сторони квадрата, дорівнює 180°, тобто ∠A + ∠B = 180°. Кожна з діагоналей квадрата ділить його кути навпіл, тобто ∠BAM + ∠ABM = 12∠A + 12∠B = 12(∠A + ∠B) = 12 • 180° = 90°, тобто всі чотири трикутники — прямокутні.

Далі, ∆AMB = ∆BMC за гіпотенузами AB і BC (як сторони квадрата) і спільним катетом BM. Так само ∆AND = ∆CND, тобто AM = MC = AN = ND. Це означає, що AMCN це ромб. Якщо MN = 4 см, то P = 4AM. Однозначно визначити довжину катета за відомим гострим кутом можна лише за допомогою тригонометричних функцій. Але задачі такого виду ми розглянемо дещо пізніше. Тепер же довжину

сторони ромба знаходимо приблизно за допомогою циркуля та мірної лінійки. Тому довжину периметра ромба знаходимо приблизно.