Вправи: 166

166. Дано прямокутний рівнобедрений трикутник. Якщо з будь–якої точки гіпотенузи опустити перпендикуляри на катети, то утвориться

прямокутник, півпериметр якого дорівнює катету. Доведи.

3а умовою в прямокутному рівнобедреному трикутнику ABC на гіпотенузі AB взята довільна точка N, з якої опущені перпендикуляри на катети ∆ABC. При цьому утворюється прямокутник MNKC. Потрібно довести, що півпериметр прямокутника дорівнює катету ∆АВС.

Дійсно, за умовою ∆ABC — рівнобедрений, тобто AC = BC. Але тоді і ∆MBN також рівнобедрений, тобто MB = MN (оскільки MN ∥ AC). Далі,

BC = MC + MB = MC + MN = 12Р, що й потрібно було довести.