Вправи: 165

165. У рівнобедрений прямокутний трикутник вписано прямокутник, дві вершини якого лежать на гіпотенузі, а дві інші — на катетах (мал.3.19). Знайди периметр прямокутника, якщо його сторони пропорційні числам 2 і 5, а довжина гіпотенузи дорівнює 18 см.

За умовою в ABC — прямокутний рівнобедрений трикутник вписано прямокутник. Потрібно обчислити периметр прямокутника, якщо його сторони відносяться як 2 : 5, а гіпотенуза трикутника дорівнює 18 см. ML ∥ AВ, тому ∆CML — рівнобедрений, CM = CL. Менша сторона прямокутника MN дорівнює згідно з умовою 25ML. Тоді периметр чотирикутника дорівнює:

P = 2(MN + ML) = 2 • (25ML + ML) = 145ML.

∆MBN і ∆AKL — рівнобедрені і ∆MBN = ∆AKL, тобто MN = BN = LK = AK.

Тоді AB = BN + NK + AK = MN + ML + MN – 2MN + ML = 45ML + ML = 95ML = 18, звідки ML = 59 • 18 = 10 (см), MN = 25 • 10 = 4 (см). Отже, P = 145ML = 145 • 10 = 28 (см).